Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y）， f( 1 3 )=1 ．

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y）， f( 1 3 )=1 ．（1）求f（1）的值；（2）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值；（3）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0 （2）∵ f( 1 3 )=1 ， ∴ f( 1 9 )=f( 1 3 × 1 3 )=f( 1 3 )+f( 1 3 )=2 ∴m= 1 9 （3）∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜ f( 1 9 ) ， 又由y=f（x）是定义在R + 上的减函数，得： x(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0 解之得： x∈(1- 2 2 3 ，1+ 2 2 3 ) ．