Question

如图，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过A作AD ∥ OC交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CD是⊙O

如图，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过A作AD ∥ OC交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=2，直径AB=6，求线段BC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图所示： ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD． ∵AD ∥ CO， ∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD． ∴∠COD=∠COB． ∵OD=OB，OC=OC， ∴△ODC≌△OBC． ∴∠ODC=∠OBC． ∵CB是圆O的切线且OB为半径， ∴∠CBO=90°． ∴∠CDO=90°． ∴OD⊥CD． 又∵CD经过半径OD的外端点D， ∴CD为圆O的切线． （2）连接BD，CO， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°． 在直角△ADB中，BD= AB 2 - AD 2 = 6 2 - 2 2 =4 2 ， ∵∠ADB=∠OBC=90°，且∠COB=∠BAD， ∴△ADB ∽ △OBC．（8分） ∴ AD OB = DB BC ，即 2 3 = 4 2 BC ． ∴BC=6 2 ．