已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，满足a+c=2b，且2cos2B=8cosB-5，（1）求角B的大小；（2
已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，满足a+c=2b，且2cos2B=8cosB-5，（1）求角B的大小；（2）若a=2，求△ABC的面积．...
已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，满足a+c=2b，且2cos2B=8cosB-5，（1）求角B的大小；（2）若a=2，求△ABC的面积．
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（1）∵2cos2B=8cosB-5，
∴2（2cos2B-1）-8cosB+5=0．
∴4cos2B-8cosB+3=0，即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB=
或cosB=
（舍去）．
∵0＜B＜π，∴B=
．…（6分）
（2）法一：∵a+c=2b．
∴cosB=
=
=
化简得a2+c2-2ac=0，解得a=c．
∴△ABC是边长为2的等边三角形．
∴△ABC的面积等于
…（12分）
法二：∵a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB=2sin
=
．
∴sinA+sin（
-A）=
，
∴sinA+sin
cosA-cos
sinA=
．
化简得
sinA+
∴2（2cos2B-1）-8cosB+5=0．
∴4cos2B-8cosB+3=0，即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵0＜B＜π，∴B=
| π |
| 3 |
（2）法一：∵a+c=2b．
∴cosB=
| a2+c2?b2 |
| 2ac |
a2+c2?
| ||
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
化简得a2+c2-2ac=0，解得a=c．
∴△ABC是边长为2的等边三角形．
∴△ABC的面积等于
| 3 |
法二：∵a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB=2sin
| π |
| 3 |
| 3 |
∴sinA+sin（
| 2π |
| 3 |
| 3 |
∴sinA+sin
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
化简得
| 3 |
| 2 |
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