Question

如图，四棱锥S-ABCD中，SD 底面ABCD，AB//DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC 平

如图，四棱锥S-ABCD中，SD 底面ABCD，AB//DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC 平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

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Answer 1

（1）见解析；（2）120°.

本试题主要考查了立体几何中的面面垂直和二面角的求解运算。 解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG， 由此知DG=GC=BG=1，即△ABC为直角三角形，故BC⊥BD． 又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD， 所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE． 作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC， 故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直， DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SD． SB2=" SD2+DB2" =" 6," DE=SD DB /SB = , EB2=" DB2-DE2" =  ，SE=SB-EB= 所以SE=2EB (2) 由SA=" SD2+AD2" =" 5" ，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知 AE=" (1" /3 SA)2+(2 /3 AB)2 =1，又AD=1． 故△ADE为等腰三角形． 取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF2=" AD2-DF2" = ． 连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE． 所以，∠AFG是二面角A-DE-C的平面角． 连接AG，AG=" 2" ，FG2=" DG2-DF2" = ， cos∠AFG="(AF2+FG2-AG2" )/2?AF?FG ="-1" /2 ， 所以，二面角A-DE-C的大小为120°