Question

设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维向量，且α1≠0，Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3，问α1，α

设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维向量，且α1≠0，Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3，问α1，α2，α3是线性相关还是线性无关的？证明你的结论．

Answer 1

设k₁a₁+k₂a₂+k₃a₃=0（零向量）…①
用A左乘上式两端，得
k₁Aa₁+k₂Aa₂+k₃Aa₃=0
又Aα₁=2α₁，Aα₂=α₁+2α₂，Aα₃=α₂+2α₃，
∴（2k₁+k₂）a₁+（2k₂+k₃）a₂+2k₃a₃=0…②
∴②-①×2，得
k₂a₁+k₃a₂=0…③
再次，用A左乘上式两端，得
k₂Aa₁+k₃Aa₂=0
即（2k₂+k₃）a₁+2k₃a₂=0…④
∴④-③×2，得
k₃a₁=0
而α₁≠0，
∴k₃=0
∴①式变成k₁a₁+k₂a₂=0
同理可得，k₂=0，k₁=0
∴k₁=0，k₂=0，k₃=0
∴α₁，α₂，α₃是线性无关．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示