Question

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）＞6abc

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）＞6abc．

Answer 1

证明：∵b²+c²≥2bc，a＞0，
∴a（b²+c²）≥2abc             ①…（5分）
同理 b（c²+a²）≥2abc          ②
c（a²+b²）≥2abc               ③…（9分）
因为a，b，c不全相等，所以b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，a²+b²≥2ab三式不能全取“=”号，
从而①、②、③三式也不能全取“=”号
∴三式相加可得：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）＞6abc…（14分）