Question

如图所示．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：4．求证：1AB+1AC＝1BC

如图所示．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：4．求证：1AB+1AC＝1BC．

Answer 1

证明：延长AB至D，使BD=AC（此时，AD=AB+AC），又延长BC至E，使AE=AC，连接ED．
下面证明，△ADE∽△ABC．
设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，
则∠A+∠B+∠C=7α=180°．
由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，
∴∠ACE=180°-4α=3α，
∴∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．
从而∠EAB=2α=∠EBA，AE=BE．
又由作图AE=AC，AE=BD，
∴BE=BD，△BDE是等腰三角形，
∴∠D=∠BED=α=∠CAB，
∴△ABC∽△DAE，
即

AD

AE

=

AB

BC

，即

AB+AC

AC

=

AB

BC

∴

1

AB

+

1

AC

＝

1

BC

．