Question

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB．（1）求角C

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB．（1）求角C的大小；（2）求sinA?sinB的最大值．

Answer 1

（1）由正弦定理化简（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，得：（a-c）（a+c）=b（a-b），
整理得：a²-c²=ab-b²，即a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

π

3

；
（2）由（1）得A+B=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
则sinA?sinB=sinAsin（

2π

3

-A）
=sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=

3

2

sinAcosA+

1

2

sin²A
=

3

4

sin2A+

1-cos2A

4

=

1

2

sin（2A-

π

6

）+

1

4

，
∵A∈（0，

2π

3

），∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，sinA?sinB有最大值

3

4

．