Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，其前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，且b1=a2，b2=a5，b3=a14．

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，其前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，且b1=a2，b2=a5，b3=a14．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}满足c1b1+c2b2+…+cnbn=Sn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由{b_n}是等比数列，得b22＝b1?b3，
即(a1+4d)2＝(a1+d)(a1+13d)，整理得：2a1d＝d2．
∵a₁=1，公差d＞0，
∴d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
∴等比数列{b_n}的公比q=3．
∴bn＝3n；
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=S_n，得

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn?1

bn?1

＝Sn?1 （n≥2）．
两式作差得：

cn

bn

＝an(n≥2)．
∴c_n=a_n?b_n（n≥2）．
又

c1

b1

＝a1，
∴c₁=a₁?b₁．
∴c_n=a_n?b_n．
∴T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）?3ⁿ．
3Tn＝1×32+3×33+…+(2n?1)?3n+1．
两式作差得：?2Tn＝3+2(32+33+…+3n)?(2n?1)?3n+1
=3+2×

9(1?3n?1)

1?3

?(2n?1)?3n+1．
∴Tn＝3+(n?1)?3n+1．