Question

如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．求证PE+PF=CH．

Answer 1

证明：

作CD//AB，交EP的延长线于D

则∠B=∠PCD

∵PE⊥AB，CH⊥AB

∴PE//CH

∴四边形CDEH是平行四边形

∴CH=DE，∠D=∠CHE=90°

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠PCD=∠ACB

∵PF⊥AC

∴∠PFC=∠D=90

∴PF=PD（角平分线上的点到角两边距离相等）

∵PE+PD=DE

∴PE+PF=DE=CH

追问

可不可以这样做辅助线

追答

可以，但你图标注的E和H颠倒了。
作PO⊥CH于O
∵PE⊥AB，CH⊥AB
∴四边形POHE是矩形
∴PE=OH
OP//HE
∴∠OPC=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠FCP
∴∠OPC=∠FCP
∵PF⊥AC
∴∠PFC=∠COP=90°
又∵PC=CP
∴△PFC≌△COP（AAS）
∴PF=CO
则PE+PF=OH+CO=CH