Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，（1）求f（1）和f

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，（1）求f（1）和f（-1）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（3）若x＞0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合．

Answer 1

（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0； 令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0； （2）f（x）是偶函数，证明如下 令y=-1，∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f（-x）=f（x）+f（-1）， ∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），∵f（x）不恒为0，∴f（x）是偶函数； （3）∵f（x+1）-f（2-x）≤0，∴f（x+1）≤f（2-x） ∵f（x）是偶函数，∴f（|x+1|）≤f（|2-x|） ∵x＞0时，f（x）为增函数， ∴|x+1|≤|2-x| ∴ x≤ 1 2 ∴满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合为{x| x≤ 1 2 }．