Question

如图，在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．

如图，在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．（1）若抛物线 y= 1 4 x 2 +bx+c 经过C、D两点，求此抛物线的解析式并判断点B是否在此抛物线上．（2）若在（1）中的抛物线的对称轴有一点P，使得△PBD的周长最短，求点P的坐标．（3）若点M为（1）中抛物线上一点，点N为其对称轴上一点，是否存在以点B、C、M、N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由已知，得B（-2，0）C（8，0），D（0，-4） 将C、D两点代入得： 1 4 × 8 2 +8b+c=0 c=-4 ， 解得 b=- 3 2 ，c=-4 ， ∴抛物线的解析式为 y= 1 4 x 2 - 3 2 x-4 ∵ 1 4 (-2 ) 2 - 3 2 ×(-2)-4=0 ， ∴点B在这条抛物线上． （2）要使△PBD的周长最短，由于边BD是定值，只需PB+PD最小， ∵点B、C关于对称轴x=3对称， ∴直线CD与对称轴x=3的交点就是所求的点P． 设直线CD的解析式为y=kx+m．将C、D两点代入，得 8k+m=0 m=-4 ， 解得 k= 1 2 ，m=-4 ， ∴直线CD的解析式为 y= 1 2 x-4 当x=3时， y=- 5 2 ， ∴点P的坐标为（3，-2.5）． （3）存在． M（-7， 75 4 ），N（3， 75 4 ）或M（13， 75 4 ），N（3， 75 4 ）或M（3，- 25 4 ），N（3， 25 4 ）