Question

如图，关于x的二次函数y=x 2 ﹣2mx﹣m﹣2的图象与x轴交于A（x 1 ，0）、B（x 2 ，0）两点（x 1 ＜0＜x 2

如图，关于x的二次函数y=x 2 ﹣2mx﹣m﹣2的图象与x轴交于A（x 1 ，0）、B（x 2 ，0）两点（x 1 ＜0＜x 2 ），与y轴交于C点。（1）当m为何值时，AC=BC；（2）当∠BAC=∠BCO时，求这个二次函数的表达式。

Answer 1

解：（1）要使AC=BC，则该抛物线的对称轴应是y轴， 则有 ，即m=0， ∴当m=0时，AC=BC； （2）当∠BAC=∠BCO， 有Rt△AOC∽Rt△COB，则 ， 即OC 2 =OAOB， 由题意，知OC=|﹣m﹣2|，OA=|x 1 |=﹣x 1 ，OB=|x 2 |=x 2 由根与系数关系，得x 1 x 2 =﹣m﹣2， ∴OAOB=﹣x 1 x 2 =m+2 则|﹣m﹣2| 2 =m+2， 解，得m=﹣2或m=﹣1， 当m=﹣2时，二次函数为y=x 2 +4x， 此时x 1 =﹣4，x 2 =0，不合题意，舍去， 当m=﹣1时，二次函数为y=x 2 +2x﹣1， 此时x 1 =﹣1﹣ ，x 2 =﹣1+ ，符合题意， ∴当∠BAC=∠BCO时，这个二次函数的表达式为y=x 2 +2x﹣1。