Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC= 1 2 AB．

Answer 1

证明：（1）∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA． 又∵∠COB为△AOC的外角， ∴∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB， ∴∠OCA=∠PCB， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠OCA+∠OCB=90°， ∴∠PCB+∠OCB=90°， ∴∠PCO=90°， ∵点C在⊙O上， ∴PC是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． 又∵点O是斜边AB的中点， ∴OC= 1 2 AB． ∵AC=PC， ∴∠A=∠P． 又由（1）知，∠OCA=∠PCB， ∴∠COB=∠OBC， ∴OC=BC= 1 2 AB，即BC= 1 2 AB．