Question

已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x 2 -10x的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）

已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x 2 -10x的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）当直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ） ， ， x=3是函数 的一个极值点， ∴ ，∴a=16； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，x∈（-1，+∞）， ， 令f′(x)=0，得x=1，x=3， f′(x)和f(x)随x的变化情况如下： ∴f(x)的增区间是（-1，1），（3，+∞）；减区间是（1，3）。 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在（-1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，　　∴ ， ，　 又 时，f(x)→-∞；x→+∞时，f(x)→+∞； 可据此画出函数y=f(x)的草图（图略）， 由图可知，当直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点时，b的取值范围为 ．