Question

已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且a+2b+3c=0，f（0）?f（1）＞0，设x1，x2是方程

已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且a+2b+3c=0，f（0）?f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1-x2|的取值范围是（　　）A．[0，23）B．[0，49）C．（13，23）D．（19，49）

Answer 1

∵g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴g′（x）=f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，故x₁+x₂=?

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，
∵|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

4b2?12ac

9a2

，
又a+2b+3c=0，
∴3c=-a-2b代入上式，
得|x₁-x₂|²=

4b2?12ac

9a2

=

4b2?4a(?a?2b)

9a2

＝

4a2+4b2+8ab

9a2

=

4

9

[(

b

a

)2+2?

b

a

+1]=

4

9

（

b

a

+1）² ，
又∵f（0）?f（1）＞0，
∴c（3a+2b+c）＞0
即?

a+2b

3

?

8a+4b

3

＞0，
∴（a+2b）（2a+b）＜0，
∵a≠0，两边同除以a²得：（

b

a

+2）（2?

b

a

+1）＜0；
∴-2＜

b

a

＜-

1

2

，
∴0≤

4

9

（

b

a

+1）²＜

4

9

∴|x₁-x₂|∈[0，

2

3

）．
故选：A．