Question

设函数f（x）=alnx+1x-a，（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）在（1）中，若函数f（

设函数f（x）=alnx+1x-a，（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）在（1）中，若函数f（x）的最小值恒小于ek+1，求实数k的取值范围；（3）当a＜0时，设x1＞0，x2＞0，且x1≠x2，试比较f（x1+x22）与f(x1)+f(x2)2的大小．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
由题意x＞0，f′(x)＝

a

x

?

1

x2

，…（2分）
由f′（x）＜0，得

a

x

?

1

x2

＜0，解得x＜

1

a

，
函数f（x）的单调递减区间是（0，

1

a

）．
由f′（x）＞0，得

a

x

?

1

x2

＞0，解得x＞

1

a

，
函数f（x）的单调递增区间是（

1

a

，+∞）． …（4分）
（2）由（1）知，当x=

1

a

时，
函数f（x）的最小值为f（

1

a

）=aln

1

a

+a-a=-alna，
令g（a）=-alna，由g′（a）=-（lna+1）=0，∴a＝

1

e

．
当0＜a＜

1

e

，g′（a）＞0，a＞

1

e

，g′ (a)＜0，
∴g(a)min =g（

1

e

）=

1

e

．
∴由

1

e

＜ek+1，得k＞-2．
∴实数k的取值范围（-2，+∞）．…（7分）
（3）∵f(

x1+x2

2

)＝aln

x1+x2

2

+

2

x1+x2

?a，

f(x1)+f(x2)

2

＝