Question

设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分∫Lxdy?2ydx的值为32π32π

设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分∫Lxdy?2ydx的值为32π32π．

Answer 1

【解法1】正向圆周x²+y²=2在第一象限中的部分，可表示为

x＝ 2 cosθ y＝ 2 sinθ

，θ∈(0，

π

2

)．
于是  ∫Lxdy?2ydx＝

∫

π 2 0

[

2

cosθ?

2

cosθ+2

2

sinθ?

2

sinθ]dθ=π+

∫

π 2 0

2sin2θdθ＝

3π

2

．
【解法二】设坐标原点为O．设 A(0，

2

)，B(

2

，0)．设 L₁为有向线段 A→O→B．
则 L+L₁为闭合曲线，所围的区域为 D={（x，y）|x²+y²≤1，x＞0，y＞0}．
因为 I₁ =

∮

L+L1

xdy ?2y dx=3

?

D

dxdy=

3

2

π，
     I₂=

L1

xdy ?2y dx=

L1

xdy-2

L1

y dx=0，
所以 I=I₁+I₂=

3

2

π．