Question

（2009?宜春一模）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，点E是线段PD上的

（2009?宜春一模）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，点E是线段PD上的动点．（1）当点E是PD的中点时，求二面角E-AC-D的大小；（2）在（1）的条件下，求点D到平面EAC的距离；（3）若点F是BC的中点且PF∥平面EAC时，求点E的位置．

Answer 1

（1）取AD的中点O，连接E，O，则EO∥PA，∴EO⊥面ABCD．
　过点O作OH⊥AC交AC于H点，连接EH，则EH⊥AC，
从而∠EHO为二面角E-AC-D的平面角．
在△PAD中，EO=

1

2

AP=1，在△AHO中∠HAO=45°，
∴HO=AOsin45°=

2

2

，
∴tan∠EHO=

EO

HO

＝

2

，
∴二面角E-AC-D等于arctan

2

．
（2）由（1）知：AC⊥OH，AC⊥EH，因此AC⊥平面EOH，
∴平面EOH⊥平面EAC，过点O作OG⊥EH，垂足为G，
则OG⊥平面EAC，在△EOH中，易求：OG=

3

3

．
又∵点O是线段AD的中点，因此点O到平面EAC的距离OG是点D到平面EAC 距离的一半，
即点D到平面EAC距离为

2 3

3

．
（3）连接FD交AC于点S，PF∥平面EAC，平面EAC∩平面PFD=ES，
∴PF∥ES  ①
又∵F为BC中点，∴

FS

SD

＝

FC

AD

＝

1

2

②
由①②知：

PE

ED

＝

FS

SD

＝

1

2

．
即：当F是BC的中点且PF∥平面EAC时，有

PE

＝

1

3

PD

．