Question

在平行四边形ABCD的边AD和AB上分别取点F和E，使AF=1/3AD,AE=1/2AB,连结EF交对角线AC于点G.求证:AG=1/5AC

Answer 1

证明：如图，过点B作BP∥EF，分别交AD、AC于点P、M；过点D作DQ∥EF，分别交BC、AC于点Q、N

在△ABP中

∵BP∥EF，AE=BE

∴EF是△ABP的中位线

∴AF=FP

同理：AG=GM

∵AF=1/3AD

∴AF=FP=PD

∵DQ∥EF

∴AG=GM=MN(平行线分线段成比例定理)

∴AG=1/3AN

∵四边形ABCD是平行四边形

∴BC∥AD且BC=AD

∴四边形BQDP是平行四边形

∴BQ=PD

∴CQ=2BQ

∴CQ/BC=CQ/AD=2/3

∵∠NAD=∠NCQ，∠NDA=∠NQC(内错角相等)，∠AND=∠CNQ(对顶角相等)

∴△AND∽△CNQ

∴CN/AN=CQ/AD=2/3

∴AG=1/5AC