Question

如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120º，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上

如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120º，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，求证:
①∠APO+∠DCO=30º
②△OPC为等边三角形
③AC=AO+AP
④S△ABC=S四边形AOCP
（过程要完整！）

Answer 1

首先，我先把相应的图给你发上。

第一题：

第二题：

第三题：

第四题：

希望能帮到你

Answer 2

① 连接OB
∵ △ABC中AB=AC，AD⊥BC
∴ AD是BD的垂直平分线
∴ △OBC为等腰三角形
∴ ∠DCO=∠DBO，OB=OC
∵ OC=OP
∴ OB=OP，△OBP是等腰三角形
∴ ∠ABO=∠APO
∴ ∠APO + ∠DCO = ∠ABO + ∠DBO = ∠B = 30°

②关键是要证明∠COP = 60°
∠AOP + ∠DOC = （180° - ∠PAO - ∠APO）+（180° - ∠DCO - ∠CDO）
=（180° - 120° - APO）+（180° - 90° - ∠DCO）
= 150° -（∠APO + ∠DCO）
由①得：∠APO + ∠DCO = 30°
∴ ∠AOP + ∠DOC = 120°
∴ ∠COP = 60°
又∵ OC=OP
∴ △OCP是等边三角形

③过O点作OE∥BP，交AC与E点，则
∵ △AOE中 ∠OAE = 60°，∠AOE=∠OAB=60°
∴ △AOE为等边三角形
∴ AO=AE
∵ △AOP与△EOC中，AO=EO，OP=OC，∠ECO = ∠ACD - ∠DCO = 30° - ∠DCO = ∠APO
∴ △AOP ≌ △EOC
∴ EC=AP
∴ AO+AP=AE+EC=AC

④过C点作CF⊥BP，交BP于F点，则：
Rt△ABD≌Rt△ACF，Rt△CDO≌Rt△CFP
∴S四边形AOCP = S△AOC + S△ACF + S△CFP = S△AOC + S△CDO + S△ABD = S△ABC