Question

如图，在△ABC中，AB=BC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F． （1）求证：BE=CE

如图，在△ABC中，AB=BC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F． （1）求证：BE=CE；（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明见解析；（2） .

试题分析：（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案； （2）首先连接OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径． 试题解析：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴AD=AF，BD=BE，CE=CF. ∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AF，即BD=CF. ∴BE=CE. （2）如图，连接OD、OF， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°. 又OD=OF，∴四边形ODAF是正方形. 设OD=AD=AF=r，则BE=BD=CF=CE= . 在△ABC中,∠A=90°，∴ . 又BC=BE+CE，∴ ，解得：r= . ∴⊙O的半径是 .