Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F． ①求证：四边形ADCE为矩形； ②求证：DF∥AB，DF= ； ③当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形，简述你的理由．





Answer 1

证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC垂足是D， ∴AD平分∠BAC，∠B=∠5， ∴∠1=∠2， ∵AE是△ABC的外角平分线， ∴∠3=∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2+∠3=90°， 即∠DAE=90°， 又∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， 又∵CE⊥AE， ∴∠AEC=90°， ∴四边形ADCE是矩形 （2）∵四边形ADCE是矩形， ∴AF=CF= AC， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴BD=CD= BC， ∴DF是△ABC的中位线， 即DF∥AB，DF= ． （3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形． ∵在Rt△ABC中，AD平分∠BAC ∴∠5=∠2=∠3=45°， ∴AD=CD， 又∵四边形ADCE是矩形， ∴矩形ADCE为正方形．