Question

设二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．（1）试推断f（x）

设二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．（1）试推断f（x）在区间[0，+∞）上是否为单调函数，并说明你的理由；（2）设g（x）=f（x）+bx，对于x 1 ，x 2 ∈R，且x 1 ≠x 2 ，若g（x 1 ）=g（x 2 ）=0，求|x 1 -x 2 |的取值范围；（3）求证：f（m+3）＞0．

Answer 1

（1）∵存在实数m，使f（m）=-a． ∴方程ax 2 +bx+c+a=0有实根?△=b 2 -4a（a+c）≥0…（*） ∵f(1)=0 ， ∴a+b+c=0，结合a＞b＞c得a＞0，c＜0 再将a+c=-b代入不等式（*），得 b 2 -4a?（-b）=b（b+4a）≥0， ∵b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0 ∴ b≥0. 可得二次函数f（x）=ax 2 +bx+c图象开口向上，且关于直线x= - b 2a 对称 ∵ - b 2a ＜0 ，f（x）在[ - b 2a ，+∞）上是增函数． ∴f（x）在区间[0，+∞）上是增函数…（3分） （2）根据题意，得x 1 ，x 2 是方程g（x）=0即ax 2 +2bx+c=0的两实根． 根据根与系数的关系得： x 1 + x 2 =- 2b a x 1 ? x 2 = c a ∴| x 1 - x 2 | 2 =( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = 4 b 2 a 2 - 4c a = 4 a 2 ( b 2 -ac)= 4 a 2 [(a+c ) 2 -ac] = 4[( c a ) 2 + c a +1]=4( c a + 1 2 ) 2 +3. ，  ∵a＞b=-（a+c）． ∴ 2a＞-c＞0? c a ＞-2，又a+c=-b≤0 ， ∴ c a ≤-1 ? ( c a + 1 2 ) 2 ∈[ 1 4 ， 9 4 ) ． ∴ | x 1 - x 2 |∈[2，2 3 )， …．（8分） （3）∵ f(1)=0．设f(x)=a(x-1)(x- c a ) ． ∵f（m）=-a， ∴ a(m-1)(m- c a )=-a ?(m-1)(m- c a )=-1＜0 ， ∴ c a ＜m＜1?m＞-2?m+3＞1 ∵f（x）在区间[0，+∞）上是增函数 ∴ f(m+3)＞f(1)=0. ．…（14分）