Question

已知双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且tan∠MF

已知双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且tan∠MF1F2＝12，则双曲线的渐近线方程为______．

Answer 1

不妨设M是双曲线右支上一点，则
∵以F₁F₂为直径的圆与双曲线的一个交点为M，
∴MF₁⊥MF₂，
∵tan∠MF1F2＝

1

2

，
∴|MF₁|=2|MF₂|，
根据双曲线第一定义知|MF₁|-|MF₂|=2a
∴|MF₁|=2|MF₂|=4a，
在Rt△MF₁F₂中，4c²=（4a）²+（2a）²，
∴c²=5a²，
∴a²+b²=5a²，
∴b=2a，
∴双曲线的渐近线方程为y=±2x．
故答案为：y=±2x．