Question

为倡导低碳生活，某节能产品生产厂家拟举行消费者购买产品获补贴的优惠活动，若厂家投放A、B两种型号产品

为倡导低碳生活，某节能产品生产厂家拟举行消费者购买产品获补贴的优惠活动，若厂家投放A、B两种型号产品的价值分别为a、b万元，则消费者购买产品获得相应的补贴分别为110a，mlnb(b+1)万元（m＞0且为常数）．已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号的产品投放到市场，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．（精确到0.1，参考数据：ln4=1.4）（1）设投放B型产品的金额为x万元，请你将这次活动中消费者得到的总补贴表示为x的函数，并求其定义域；（2）当m＝25时，当投放B型产品的金额为多少万元时，消费者得到的总补贴最多，并求出最大值．

Answer 1

（1）当投放B型产品的金额的x万元时，投放A型产品的金额为（10-x）万元，消费者得到的总补贴为f（x）
f（x）=

1

10

（10-x）+mln（x+1）=mln（x+1）-

x

10

+1，1≤x≤9
（2）当m＝

2

5

时，消费者得到的总补贴为y=

2

5

ln（x+1）-

x

10

+1，x∈[1，9]
y′=

2

5(x+1)

-

1

10

=

3?x

10(x+1)

，令y′=0得x=3
当x∈[1，3]时，y′＞0，当x∈（3，9]时，y′＜0
∴x=3时，y取最大值y_max=

2

5

ln4+

7

10

≈1.3
即厂家分别投放A、B两种产品7万元与3万元时，消费者得到的总补贴最多，最多补贴约为1.3万元．