Question

已知函数f(x)＝|x?a|?9x+a，x∈[1，6]，a∈R．（1）若a=6，写出函数f（x）的单调区间，并指出单调性；（2

已知函数f(x)＝|x?a|?9x+a，x∈[1，6]，a∈R．（1）若a=6，写出函数f（x）的单调区间，并指出单调性；（2）若函数f（x）在[1，a]上单调，且存在x0∈[1，a]使f（x0）＞-2成立，求a的取值范围；（3）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

Answer 1

解题过程如下：

∵1<a<6

∴f（x）=2a-(x+9x)

1≤x≤ax-9x，a<x≤6

当1<a≤3时，f（x）在[1，a]上是增函数

在[a，6]上也是增函数

∴当x=6时，f（x）取得最大值为f（6）=6-96=92

∴f（x）是增函数

扩展资料

性质：

一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。 此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。

设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在此区间上是增函数。此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。

证明函数单调性的方法为：

1）取值：设

 

为该相应区间的任意两个值，并规定它们的大小，如

 

；

2）作差：计算

 

，并通过因式分解、配方、有理化等方法作有利于判断其符号的变形；

3）定号：判断

 

的符号，若不能确定，则可分区间讨论。

Answer 2

（1）当a=6时，∵x∈[1，6]，∴f（x）=a-x-

9

x

+a=2a-x-

9

x

；任取x₁，x₂∈[1，6]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（2a-x₁-

9

x1

）-（2a-x₂-

9

x2

）=（x₂-x₁）+（

9

x2

-

9

x1

）=（x₂-x₁）?

x1x2?9

x1x2

，
当1≤x₁＜x₂＜3时，x₂-x₁＞0，1＜x₁x₂＜9，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）是增函数，增区间是[1，3）；
当3≤x₁＜x₂≤6时，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞9，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）是减函数，减区间是[3，6]；
（2）当x∈[1，a]时，f（x）=a-x-

9

x

+a=-x-

9

x

+2a；
由（1）知，当x∈[1，3）时，f（x）是增函数，当x∈[3，6]时，f（x）是减函数；
∴当a∈（1，3]时，f（x）在[1，a]上是增函数；
且存在x₀∈[1，a]使f（x₀）＞-2成立，
∴f（x）_max=f（a）=a-

9

a

＞-2，
解得a＞

10

-1；
综上，a的取值范围是{a|

10

-1＜a≤3}．
（3）∵a∈（1，6），∴f（x）=

2a?x? 9 x   …(1≤x≤a) x? 9 x    …(a＜x≤6)

，
①当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，
∴当x=6时，f（x）取得最大值

9

2

．
②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，
而f（3）=2a-6，f（6）=

9

2

，
当3＜a≤

21

4

 时，2a-6≤

9

2

，当x=6时，f（x）取得最大值为

9

2

．
当

21

4

≤a＜6时，2a-6＞

9

2

，当x=3时，f（x）取得最大值为2a-6．
综上得，M（a）=

9 2    …(1≤a≤ 21 4 ) 2a?6  …( 21 4 ＜a≤6)

．