已知函数f(x)=|x?a|?9x+a,x∈[1,6],a∈R.(1)若a=6,写出函数f(x)的单调区间,并指出单调性;(2
已知函数f(x)=|x?a|?9x+a,x∈[1,6],a∈R.(1)若a=6,写出函数f(x)的单调区间,并指出单调性;(2)若函数f(x)在[1,a]上单调,且存在x...
已知函数f(x)=|x?a|?9x+a,x∈[1,6],a∈R.(1)若a=6,写出函数f(x)的单调区间,并指出单调性;(2)若函数f(x)在[1,a]上单调,且存在x0∈[1,a]使f(x0)>-2成立,求a的取值范围;(3)当a∈(1,6)时,求函数f(x)的最大值的表达式M(a).
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解题过程如下:
∵1<a<6
∴f(x)=2a-(x+9x)
1≤x≤ax-9x,a<x≤6
当1<a≤3时,f(x)在[1,a]上是增函数
在[a,6]上也是增函数
∴当x=6时,f(x)取得最大值为f(6)=6-96=92
∴f(x)是增函数
扩展资料
性质:
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。 此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。
设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在此区间上是增函数。此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。
证明函数单调性的方法为:
1)取值:设
为该相应区间的任意两个值,并规定它们的大小,如
;
2)作差:计算
,并通过因式分解、配方、有理化等方法作有利于判断其符号的变形;
3)定号:判断
的符号,若不能确定,则可分区间讨论。
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(1)当a=6时,∵x∈[1,6],∴f(x)=a-x-
+a=2a-x-
;任取x1,x2∈[1,6],且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=(2a-x1-
)-(2a-x2-
)=(x2-x1)+(
-
)=(x2-x1)?
,
当1≤x1<x2<3时,x2-x1>0,1<x1x2<9,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)是增函数,增区间是[1,3);
当3≤x1<x2≤6时,x2-x1>0,x1x2>9,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)是减函数,减区间是[3,6];
(2)当x∈[1,a]时,f(x)=a-x-
+a=-x-
+2a;
由(1)知,当x∈[1,3)时,f(x)是增函数,当x∈[3,6]时,f(x)是减函数;
∴当a∈(1,3]时,f(x)在[1,a]上是增函数;
且存在x0∈[1,a]使f(x0)>-2成立,
∴f(x)max=f(a)=a-
>-2,
解得a>
-1;
综上,a的取值范围是{a|
-1<a≤3}.
(3)∵a∈(1,6),∴f(x)=
,
①当1<a≤3时,f(x)在[1,a]上是增函数,在[a,6]上也是增函数,
∴当x=6时,f(x)取得最大值
.
②当3<a<6时,f(x)在[1,3]上是增函数,在[3,a]上是减函数,在[a,6]上是增函数,
而f(3)=2a-6,f(6)=
,
当3<a≤
时,2a-6≤
,当x=6时,f(x)取得最大值为
.
当
≤a<6时,2a-6>
,当x=3时,f(x)取得最大值为2a-6.
综上得,M(a)=
.
9 |
x |
9 |
x |
则f(x1)-f(x2)=(2a-x1-
9 |
x1 |
9 |
x2 |
9 |
x2 |
9 |
x1 |
x1x2?9 |
x1x2 |
当1≤x1<x2<3时,x2-x1>0,1<x1x2<9,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)是增函数,增区间是[1,3);
当3≤x1<x2≤6时,x2-x1>0,x1x2>9,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)是减函数,减区间是[3,6];
(2)当x∈[1,a]时,f(x)=a-x-
9 |
x |
9 |
x |
由(1)知,当x∈[1,3)时,f(x)是增函数,当x∈[3,6]时,f(x)是减函数;
∴当a∈(1,3]时,f(x)在[1,a]上是增函数;
且存在x0∈[1,a]使f(x0)>-2成立,
∴f(x)max=f(a)=a-
9 |
a |
解得a>
10 |
综上,a的取值范围是{a|
10 |
(3)∵a∈(1,6),∴f(x)=
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①当1<a≤3时,f(x)在[1,a]上是增函数,在[a,6]上也是增函数,
∴当x=6时,f(x)取得最大值
9 |
2 |
②当3<a<6时,f(x)在[1,3]上是增函数,在[3,a]上是减函数,在[a,6]上是增函数,
而f(3)=2a-6,f(6)=
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2 |
当3<a≤
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当
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综上得,M(a)=
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