如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax 2 +bx+c(a>0)的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A
如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,点A在原点的左侧,点B的坐标为(3,0),OB=...
如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax 2 +bx+c(a>0)的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,点A在原点的左侧,点B的坐标为(3,0),OB=OC,tan∠ACO= 。
(1)求这个二次函数的解析式;(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆的半径长度;(3)如图2,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上的一动点,当点P运动到什么位置时,△AGP的面积最大?求此时点P的坐标和△AGP的最大面积。 展开
(1)求这个二次函数的解析式;(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆的半径长度;(3)如图2,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上的一动点,当点P运动到什么位置时,△AGP的面积最大?求此时点P的坐标和△AGP的最大面积。 展开
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解:(1)由OC=OB=3,知C(0,-3),连接AC, 在Rt△AOC中,OA=OC×tan∠ACO=3× =1,故A(-1,0), 设所求二次函数的表达式为 , 将C(0,-3)代入得-3=a(0+1)(x-3),解得a=1, ∴这个二次函数的表达式为 ; (2)①当直线MN在x轴上方时,设所求圆的半径为R(R>0),设M在N的左侧, ∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上, ∴N(R+1,R)代入 中得 ,解得 ; ②当直线MN在x轴下方时,设所求圆的半径为,由①可知N(r+1,-r), 代入抛物线方程可得 ; (3)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q, 把G(2,y)代入抛物线的解析式 得G(2,-3), 由A(-1,0)可得直线AG的方程为y=-x-1, 设P(x, ),则 , , 当 时,△APG的面积最大, 此时P点的坐标为 ,△APG的面积最大值为 。 |
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