Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于点E，交CB于点F，且EG ∥ AB交BC于点G．求证

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于点E，交CB于点F，且EG ∥ AB交BC于点G．求证：CF=BG．

Answer 1

证明：过E作EM ∥ BC交AB于M， ∵EG ∥ AB， ∴四边形EMBG是平行四边形， ∴BG=EM，∠B=∠EMD， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠ACB=90°， ∴∠1+∠7=90°，∠2+∠3=90°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠1=∠2， ∵∠3=∠4， ∴∠4=∠7， ∴CE=CF， ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴∠CAD+∠B=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠B=∠EMD， ∵在△CAE和△MAE中 ∠1=∠2 ∠ACE=∠AME AE=AE ， ∴△CAE≌△MAE（AAS）， ∴CE=EM， ∵CE=CF，EM=BG， ∴CF=BG．