如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，且OA＝
如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA...
如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．(1)①直接写出点E的坐标： ；②求证：AG＝CH．(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．(3)在(2 )的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
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(1)①解： E 的坐标是：(1， )， 故答案为：(1， )； ②证明：∵矩形 OABC ， ∴ CE ＝ AE ， BC ∥ OA ， ∴∠ HCE ＝∠ EAG ， ∵在△ CHE 和△ AGE 中 ， ∴△ CHE ≌△ AGE ， ∴ AG ＝ CH; (2)解：连接 DE 并延长 DE 交 CB 于 M ，
∵ DD ＝ OC ＝1＝ OA ，
∴ D 是 OA 的中点， ∵在△ CME 和△ ADE 中 ， ∴△ CME ≌△ ADE ， ∴ CM ＝ AD ＝2－1＝1， ∵ BC ∥ OA ，∠ COD ＝90°， ∴四边形 CMDO 是矩形， ∴ MD ⊥ OD ， MD ⊥ CB ， ∴ MD 切⊙ O 于 D ， ∵得 HG 切⊙ O 于 F ， E (1， )， ∴可设 CH ＝ HF ＝ x ， FE ＝ ED ＝ ＝ ME ， 在Rt△ MHE 中，有 MH 2 ＋ ME 2 ＝ HE 2 即(1－ x ) 2 ＋( ) 2 ＝( ＋ x ) 2 ， 解得 x ＝ ， ∴ H ( ，1)， OG ＝2－ ＝ ， 又∵ G ( ，0)， 设直线 GH 的解析式是： y ＝ kx ＋ b ， 把 G 、 H 的坐 标代入得：0＝ b ，且1＝ k ＋ b ， 解得： k ＝－ ， b ＝ ， ∴直线 GH 的函数关系式为 y ＝－ ； (3)解：连接 BG ， ∵在△ OCH 和△ BAG 中 ， ∴△ OCH ≌△ BAG ， ∴∠ CHO ＝∠ AGB ， ∵∠ HCO ＝90°， ∴ HC 切⊙ O 于 C ， HG 切⊙ O 于 F ， ∴ OH 平分∠ CHF ， ∴∠ CHO ＝∠ FHO ＝∠ BGA ， ∵△ CHE ≌△ AGE ， ∴ HE ＝ GE ， 在△ HOE 和△ GBE 中 ， ∴△ HOE ≌△ GBE ， ∴∠ OHE ＝∠ BGE ， ∵∠ CHO ＝∠ FHO ＝∠ BGA ， ∴∠ BGA ＝∠ BGE ，即 BG 平分∠ FGA ， ∵⊙ P 与 HG 、 GA 、 AB 都相切， ∴圆心 P 必在 BG 上，过 P 做 PN ⊥ GA ，垂足为 N ， ∴△ GPN ∽△ GBA ， ∴ ， 设半径为r， ＝ ， 解得：r＝ ， 答：⊙
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