Question

如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，BE与AC交于点M，AD与EC交于点N．（1）证明：

如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，BE与AC交于点M，AD与EC交于点N．（1）证明：△BCE≌△ACD；（2）指出图中的全等三角形，并选择一对加以证明；（3）若点B，C，D不在同一直线上，请画出相应的图形，（1）（2）的结论还成立吗？请选择其中一对说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC＝AC ∠BCE＝∠ACD CE＝CD

，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．

（2）△ACN≌△BCM，△EMC≌△DNC，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD．
∵∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACE=∠ACB．
在△ACN和△BCM中，

∠CBE＝∠CAN AC＝BC ∠BCM＝∠ACN

，
∴△ACN≌△BCM（ASA）．

（3）△BCE≌△ACD，△ACN和△BCM不全等，△EMC和△DNC不全等，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC＝AC ∠BCE＝∠ACD CE＝CD

，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．