Question

如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：BC=AB+CE

如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：BC=AB+CE．

Answer 1

证明：
延长BA到F，使BF=BC，连接EF，FD，
∵在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=40°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=20°，
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD=100°+20°=120°，
∴∠ADE=∠BDC=120°，
在△FBD和△CBD中，

BF＝BC ∠FBD＝∠CBD BD＝BD

，
∴△FBD≌△CBD（SAS），
∴∠BDF=∠BDC=120°=∠ADE，
∵在△ABD中，∠BAD=120°，∠ABD=20°，
∴∠ADB=180°-100°-20°=60°，
∴∠ADF=∠BDF-∠ADB=120°-60°=60°，
∴∠EDF=120°-60°=60°=∠ADF，
在△ADF和△EDF中，

AD＝DE ∠ADF＝∠EDF DF＝DF

，
∴△ADF≌△EDF（SAS），
∴AF=EF，
在△FAE和△CBE中，

BF＝BC ∠FBE＝∠CBE BE＝BE

，
∴△FAE≌△CBE（SAS），
∴EF=CE，
∴CE=AF，
∴BC=BF=AB+AF=AB+CE，
即BC=AB+CE．