Question

（2014?历下区一模）如图，已知△ABC中，AB=1Ocm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿点BA向点A匀速运动，

（2014?历下区一模）如图，已知△ABC中，AB=1Ocm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿点BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，P点速度为2cm/s，Q点速度为1cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）．（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设四边形PQCB的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取最小值，并求出最小值．（3）是否存在某时刻t，使线段PQ怡好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
∴

10?2t

10

=

t

8

，
t=

40

13

，
即当t为

40

13

s时，PQ∥BC；
（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
过P作PD⊥AC于D，
则PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PD

BC

，
∴

10?2t

10

=

PD

6

，
PD=

3

5

（10-2t），
∴S_△APQ=

1

2

AQ?PD=

1

2

?t?

3

5

（10-2t）=-

3

5

t²+3t，
∴S=S△ABC-S△APQ=

1

2

×8×6-（-

3

5

t²+3t）=

3

5

t²-3t+24=

3

5

（t-

5

2

）²+

81

4

，
当t=

5

2

秒时，S的最小值是

81

4

cm²．

（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则S_△APQ=

1

2

S_△ABC
即-

3

5

t²+3t=

1

2

×

1

2

×8×6
t²-5t+20=0，
∵△=5²-4×1×20=-55＜0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

Answer 2

（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴
AP
AB
=
AQ
AC
，
∴
10?2t
10
=
t
8
，
t=
40
13
，
即当t为
40
13
s时，PQ∥BC；
（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°

，
过P作PD⊥AC于D，
则PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴
AP
AB
=
PD
BC
，
∴
10?2t
10
=
PD
6
，
PD=
3
5
（10-2t），
∴S△APQ=
1
2
AQ?PD=
1
2
?t?
3
5
（10-2t）=-
3
5
t2+3t，
∴S=S△ABC-S△APQ=
1
2
×8×6-（-
3
5
t2+3t）=
3
5
t2-3t+24=
3
5
（t-
5
2
）2+
81
4
，
当t=
5
2
秒时，S的最小值是
81
4
cm2．
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则S△APQ=
1
2
S△ABC
即-
3
5
t2+3t=
1
2
×
1
2
×8×6
t2-5t+20=0，
∵△=52-4×1×20=-55＜0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．