Question

已知函数f（x）=x3-ax2-a2x．（Ⅰ）若x=1时函数f（x）有极值，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间

已知函数f（x）=x3-ax2-a2x．（Ⅰ）若x=1时函数f（x）有极值，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若方程f（x）=0有三个不同的解，分别记为x1，x2，x3，证明：f（x）的导函数f′（x）的最小值为f′(x1+x2+x33)．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax-a²
∵当x=1时，f（x）有极值，
∴f'（1）=0
即3-2a-a²=0
∴a=1或a=-3
经检验a=1或a=-3符合题意
（Ⅱ）令f'（x）=0即3x²-2ax-a²=0
解得x=a或x＝?

a

3

（1）当a＞0时，?

a

3

＜a
∴x＜?

a

3

或x＞a时，f′(x)＞0，f(x)为增函数
∴f（x）的单调增区间为(?∞，?

a

3

)和(a，+∞)
（2）当a＝0时，?

a

3

＝a＝0
∴f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）
（3）当a＜0时，?

a

3

＞a
∴x＞?

a

3

或x＜a时，f′(x)＞0，f(x)为增函数
∴f（x）的单调增区间为(?∞，a)和(?

a

3

，+∞)
（Ⅲ）∵f（x）=x（x²-ax-a²）
∴x=0是f（x）的一个零点，设x₁x₂是方程x²-ax-a²=0的两根，
∴x₁+x₂=a

x1+x2+x3

3

＝

a

3

又知当x＝

a

3

时f′(x)＝3x2?2ax?a2取得最小值f′(

a

3

)
即函数y=f'（x）的最小值为f′(

x1+x2+x3

3

)