Question

某小区有一块三角形空地，如图△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=90°，开发商计划在这片空地上进行绿化

某小区有一块三角形空地，如图△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=90°，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在△ABC内的P点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC边上选一点D，然后过点P和点D画一分界线与边AB相交于点E，在△ADE区域内绿化，在四边形BCDE区域内修建运动场所．现已知点P处的服务站与AC距离为10米，与BC距离为100米．设DC=d米，试问d取何值时，运动场所面积最大？

Answer 1

解：法一：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立直角坐标系，
则C（0，0），A（0，180），B（90，0），P（10，100），D（0，d）．
DE直线方程：y?100＝

d?100

?10

(x?10)，①
AB所在直线方程为2x+y=180，②
解①、②组成的方程组得，xE＝

10d?1800

d?120

，
∵直线DE经过点B时d＝

225

2

，
∴0＜d＜

225

2

，
S△ADE＝

1

2

AD?|xE|＝

1

2

?(180?d)?

10d?1800

d?120

设120?d＝t∈(

15

2

，120)，S△ADE＝5?

(60+t)2

t

=5?(t+

3600

t

+120)，
∵t+

3600

t

≥120（当且仅当t=60，即k=4时取等号），
此时d=120-t=60，
∴当d=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大．
法二：如图，分别过点P，E作AC的垂线，垂足为Q，F，设EF=h，
若如图1所示，则PQ=10，CQ=100，DQ=100-d，
由△AFE～△ACB得

AF

180

＝

h

90

，即AF=2h，从而CF=180-2h，DF=180-2h-d，
由△DPQ～△DEF得

10

h

＝

100?d

180?2h?d

，解得h＝

1800?10d

120?d

若如图2所示，则PQ=10，CQ=100，DQ=d-100，AF=2h，CF=180-2h，DF=2h+d-180，由△DPQ～△DEF得

10

h

＝

100?d

180?2h?d

，
解得h＝

1800?10d

120?d

；
由0＜h＜90得0＜d＜

225

2

，
由S△ADE＝

1

2

AD?h＝

1

2

?(180?d)?

10d?1800

d?120

，
设120?d＝t∈(

15

2

，120)，
S△ADE＝5?

(60+t)2

t

=