Question

已知AB∥CD，探究下列几种情况：（1）如图1，若∠EAF=12∠EAB，∠ECF=12∠ECD，求证：∠AFC=12∠AEC；（2

已知AB∥CD，探究下列几种情况：（1）如图1，若∠EAF=12∠EAB，∠ECF=12∠ECD，求证：∠AFC=12∠AEC；（2）如图2，若∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD，求证：∠AFC=13∠AEC；（3）若∠AFC=1n∠EAB，∠ECF=1n∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是∠AFC=n?1n∠AEC∠AFC=n?1n∠AEC（用含有n的代数式表示，不证明）．

Answer 1

解答：解：（1）如图1，连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=2x°，∠ECD=2y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（2x°+2y°），∠FAC+∠FCA=180°-（x°+y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（2x°+2y°）]
=2x°+2y°
=2（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（x°+y°）]
=x°+y°
∴∠AFC=

1

2

∠AEC，

（2）如图2，连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=3x°，∠ECD=3y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+3x°+∠ACE+3y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（3x°+3y°），∠FAC+∠FCA=180°-（2x°+2y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（2x°+2y°）]
=2x°+2y°
=2（x°+y°），
∴∠AFC=

2

3

∠AEC，

（3）若∠AFC=

1

n

∠EAB，∠ECF=

1

n

∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是：∠AFC=

n?1

n

∠AEC；