Question

设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若a＜2e2，试判断函数f

设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若a＜2e2，试判断函数f（x）在x∈（1，e2）的零点个数，并说明你的理由；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1?x2＞e2．

Answer 1

在区间（0，+∞）上，f′(x)＝

1

x

?a＝

1?ax

x

．
（1）当a=2时，切线的斜率k=f′(1)＝

1?2×1

1

＝?1，
又f（1）=ln1-2×1=-2，
由点斜式得切线方程为y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0．                                                                                 
（2）方法一：
（i）当a≤0时，f'（x）≥0，则f（x）在（1，e²）上单调递增，
此时f（1）=-a≥0，∴f（x）在x∈（1，e²）没有零点；                                                                                    
（ii）当a＞0时，令f'（x）=0，得x＝

1

a

．
①当0＜a≤

1

e2

即

1

a

≥e2时，则
当x∈（1，e²），有f′（x）≥0，从而f（x）在（1，e²）单调递增，
此时f（1）=-a＜0，f（e²）=lne²-ae²=2-ae²＞0，
∴f（x）在x∈（1，e²）有且只有一个零点．                                                                              
②当

1

e2

＜a＜

2

e2

即

e2

2

＜

1

a

＜e2时，则
当x∈(1，

1

a

)时，f′(x)＞0，f（x）在(1，

1

a

)单调递增；
当x∈(

1

a

，e2)时，f′(x)＜0，f（x）在(

1

a

，e2)单调递减．                                             
而f(

1

a

)＝ln

1

a

?1＞0，f（1）=-a＜0，f（e²）=2-ae²＞0，
∴f（x）在x∈（1，e²）有且只有一个零点．                                                                                  
综上，当a≤0时，f（x）在x∈（1，e²）没有零点；
当0＜a＜

2

e2

时，函数f（x）有且只有一个零点．
方法二：由f（x）=0，得a＝

lnx

x

，
函数f（x）在x∈（1，e²）的零点个数等价于函数y=a的图象与函数y＝

lnx

x

的图象的交点个数，
令g（x）=

lnx

x

，则g′(x)＝

1?lnx

x2

，
由g'（x）=0，得x=e，
在区间（1，e）上，g'（x）＞0，则函数g（x）是增函数，
∴g（1）＜g（x）＜g（e），即0＜g(x)＜

1

e

；
在区间（e，e²）上，g'（x）＜0，则函数g（x）是减函数，
∴g（e²）＜g（x）＜g（e），即

2

e2

＜g(x)＜

1

e

．
∵a＜

2

e2

，∴当a≤0时，f（x）在x∈（1，e²）没有零点；
当0＜a＜

2

e2

时，函数f（x）有且只有一个零点．
（3）原不等式x1?x2＞e2?lnx₁+lnx₂＞2．                                                         
不妨设x₁＞x₂＞0，∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
∴a（x₁+x₂）＞2?

lnx1?lnx2

x1?x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2(x1?x2)

x1+x2

．                                                          
令

x1

x2

＝t，则t＞1，于是ln

x1

x2

＞

2(x1?x2)

x1+x2

?lnt＞

2(t?1)

t+1

．
设函数h(t)＝lnt?

2(t?1)

t+1

(t＞1)，则h′(t)＝

1

t

?

4

(t+1)2

＝

(t?1)2

t(t+1)2

＞0，
故函数h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（1）=0，
即不等式lnt＞

2(t?1)

t+1

成立，故所证不等式x1?x2＞e2成立．