Question

设函数f x=㏑x+m/x,若对任意b>a>0，f(b)-f(a)/b-a＜1恒成立，

Answer 1

f(x)=㏑x+m/x
定义域x>0
[f(b)-f(a)]/(b-a)<1

f(b)-b-[f(a)-a)<0
即①f(x)-x为单调递减函数或②f(x)是单调递减函数（[f(b)-f(a)]<0,b-a>0,[f(b)-f(a)]/(b-a)<0,恒小于1）
①令g(x)=f(x)-x=㏑x+m/x-x ,x>0
g'(x)=1/x-m/x²-1
x>0时，1/x-m/x²-1恒小于0
(x-m-x²)/x²<0
∵x²>0
∴-x²+x-m<0
-(x-1/2)²+1/4-m<0
1/4-m<0
m>1/4
②f'(x)=1/x-m/x²=(x-m)/x²
m<0时，f'(x)恒大于0，f(x)是增函数，不合题意。
m>0时，x>m时，f'(x)恒大于0，f(x)是增函数，不合题意。
②不成立
∴m的取值范围是：m>1/4