Question

曲面积分，高斯公式。我算的答案是0，感觉是错的。求详细过程和答案

Answer 1

因为P O R在原点处不可偏，所以需要挖洞。挖完之后此曲面积分与曲面∑无关。只计算挖出部分即可。挖∑1：x²+y²+z²=r²，取内侧。原式=∫∫(∑+∑1)Pdydz+Qdxdz+Rdxdy–∫∫(∑1)。前一个积分等于零，后一个积分由高斯定理∫∫(∑1)(xdydz+ydzdx+zdxdy)/r³= –∫∫∫3dV=–(3/r³)*4πr³/3=-4π。综上：原式=0-(-4π)=4π

Answer 2

根据C^-1=C*/|C|,即：C的逆矩阵等于C伴随矩阵除以C行列式.
还有由矩阵A可知行列式|A|=1*3*6=18,可以得到：
|C*|= |C|^(n-1)= |C|^(3-1)= |C|^2,得：|C|=|C*|^(1/2)=|A|^(1/2)=√(18)=3√2
这里注意下：|C^-1|=1/|C|,这是因为|CC^-1|=|C||C^-1|=|E|=1,两边同除|C|得到的.
得：C^-1=C*/|C|=A/(3√2)
得C=(3√2)*A^-1=
[1 0 0]
(3√2)*[-2/3 1/3 0]
[-1/9 -5/18 1/6]
=[(3√2) 0 0]
[(-2√2) √2 0]
[(-√2/3) (-5√2/6) (√2/2)]

Answer 3

没有错，ε积分区域是个椭球，这个椭球关于xoy,yoz,xoz三个平面对称，而刚好被积函数:x，y,z分别都是关于yoz，xoz，xoy，平面为奇函数，所以积分为0.

Answer 4

因为原点处没有意义，必须像格林公式一样减去原点