Question

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Answer 1

f(x)在区间[0,x]上的平均值，是求定积分除以x，即∫^x_₀f(t)dt /x
从而f(x)切线在y轴上的截距 = ∫^x_₀f(t)dt /x
而f(x)切线在点(x,f(x))，斜率为f'(x)

所以切线方程为
y=f'(x)x+∫^x_₀f(t)dt /x
且切线过点(x,f(x))，代入上述方程，得到
f(x) = f'(x)x+∫^x_₀f(t)dt /x
等号两边同时乘以x，得到
xf(x) =x²f'(x) + ∫^x_₀f(t)dt ①
等号两边同时对x求导，得到
f(x)+xf'(x) = 2xf'(x) +x²f''(x) + f(x)
即x²f''(x) +xf'(x) =0
由于x>0，等号两边同时除以x，得到
xf''(x) +f'(x)=0
即(xf'(x))'=0，求不定积分
从而 xf'(x) =C₁ （其中C₁为常数）
即f'(x) =C₁/x
再求一次不定积分，得到
f(x) = C₁lnx+C₂（其中C₁,C₂为常数）

Answer 2

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