Question

线代题: 设向量组α1，α2……αm与向量组α1,α2…αm，β的秩相等证明两向量组等价

Answer 1

因为，r(α1，α2，…，αm) ＝ r(α1，α2，…，αm，β)
所以，向量组α1，α2,…，αm的极大无关组所含向量的个数
与向量组α1，α2，…，αm，β的极大无关组所含向量的个数相同
所以，α1，α2，…，αm的一个极大无关组也是α1，α2，…，αm，β的极大无关组
所以，β可由α1，α2，…，αm 线性表示
所以，α1，α2，…，αm，β可由α1，α2，…，αm线性表示.

因为，如果两向量组有相同的秩
且，其中一个向量组可由另一个向量组线性表示
则，两向量组等价

所以，向量组α1，α2，…，αm，β与向量组α1，α2，…，αm等价