Question

如何用定积分的方法证明圆的面积公式

Answer 1

证明：

取微圆环，圆心角θ～θ＋dθ，

则微圆环面积dS＝2πRsinθ＊Rdθ，

球面积S＝∫dS＝∫2πR²sinθ＊dθ（从0积到π）＝－2πR²cosθ｜（下0上π）＝4πR²

只需要求四分之一个圆就行，只需要求第一象限的面积，乘以4就可以，对于半径为R的圆，分割成无数个微元，阴影部分那个微元的微面积是dS=xdy。

注意：

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

以上内容参考：百度百科--定积分

Answer 2

取微圆环，圆心角θ～θ＋dθ，

则微圆环面积dS＝2πRsinθ＊Rdθ，

球面积S＝∫dS＝∫2πR²sinθ＊dθ（从0积到π）＝－2πR²cosθ｜（下0上π）＝4πR²

只需要求四分之一个圆就行，只需要求第一象限的面积，乘以4就可以，对于半径为R的圆，分割成无数个微元，阴影部分那个微元的微面积是dS=xdy。

扩展资料：

定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。

用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 3

计算就是，即可。

Answer 4

在极坐标下做比较简单。