Question

初三数学题.求

如图，G为△ABC的重心，过G作GD∥BC交AC于点D，GE∥AC交AB于点E，GF∥AB交BC于点F。

（1）求证；BC分之DG=三分之一
（2）若△ABC的周长为12，求GE+GF+GD的值

Answer 1

1、连接AG，并延长AG，交BC于M，

∵G是重心，那么AM是中线

∴AG/AM=2/3，CM=1/2BC

∵GD∥BC

∴△ADG∽△ACM

∴DG/CM=AG/AM=2/3

∴DG/(1/2BC)=2/3

即DG/BC=1/3

2、∵GE∥AC，GF∥AB

同理：GE/AC=1/3，GF/AB=1/3

∴GD=1/3BC，GE=1/3AC，GF=1/3AB

∴GE+GF+GD

=1/3(AC+AB+BC)

=1/3×12

=4

Answer 2

连接AG并延长交BC于点P
∵ G是三角形的重心
∴ AG/GP=2
∴AG/AP=2/3
∵ DG//BC
∴角AGD=角APC
角ADG=角ACP
∴三角形AGD相似于三角形APC
∴DG/PC=AG/AP=2/3
同理由GF//AB可得
PF/

Answer 3

延长CG交AB与点H，此时H是AB的中点，过点A做CH的平行线交BG的延长线于点I，BI交AC于点J。
∵AI//CH
∴∠IAC=∠GCA
且∠IJA=∠CJG为对顶角相等
J为AC的中点，∴AJ=JC
所以△AIJ全等于△CGJ
可以得出IJ=JG
∵在△BGH与△BIA中，GH/IA
∴两三角形相似，因为BH=AH
所以BG=GI
∵GJ=IJ
∴GJ=1/2*BG=1/3*BJ
∵在△JGD与△JBC中
GD//BC
∴两三角形相似，DG：BC=JG：JB=1：3
2、同理，相加的值=12*1/3=4

Answer 4

（1）连结AG并延长AG交BC于H，因为DG∥BC，所以有△AGD∽△AHC，因为G为△ABC的重心。所以有DG/HC=AG/AH=2/3，BC=2DG，所以DG/BC=1/3。
（2）根据上题结论同理可得：EG/AC=1/3，FG/AB=1/3，所以GE+GF+GD=(AC+AB+BC)/3=4。