Question

'求函数f(x)= x/(x^2+1)的各单调区间的单调性

具体过程哦。有些点不能带过。
花间的解法不太好。再。。

Answer 1

x>1时
令a>b>1
f(a)-f(b)=a/(a^2+1)-b/(b^2+1)
=[a(b^2+1)-b(a^2+1)]/[(a^2+1)(b^2+1)]
=(ab-1)(b-a)/[(a^2+1)(b^2+1)]
分母大于0
a>b,b-a<0
a>1,b>1
所以ab>1,ab-1>0
所以a>b>1,f(a)<f(b)
所以x>1是减函数

x<-1,
则m<n<-1,则-m>-n>1
f(m)-f(n)由奇函数，=-f(-m)+f(-n)
x>1是减函数，-n<-m
所以f(-n)-f(m)>0
所以m<n<-1,g(m)>f(n)
所以x>-1也是减函数

-1<x<1,
令-1<a<b<1
则f(a)-f(b)=a/(a^2+1)-b/(b^2+1)
=[a(b^2+1)-b(a^2+1)]/[(a^2+1)(b^2+1)]
显然分母大于0
分子=a(b^2+1)-b(a^2+1)
=ab^2+a-a^2b-b
=ab(b-a)-(b-a)
=(ab-1)(b-a)
b>a,b-a>0
若ab异号或有一个为0，则ab<=0,ab-1<0
若ab同号
若0<a<b<1,则ab<1,ab-1<0
若-1<a<b<0
则0<-b<-a<1
所以(-b)*(-a)<1
ab-1<0
所以分子<0
即[a(b^2+1)-b(a^2+1)]/[(a^2+1)(b^2+1)]<0
所以-1<a<b<1时
f(a)<f(b)
所以是增函数
所以f(x)= x/(x^2+1)在-1<x<1,是增函数