Question

（x+y）dy +（x-y）dx=0 求通解

Answer 1

具体回答如下：

(x+y)dy+(x-y)dx=0

(1+y/x)dy+(1-y/x)dx=0

设y=xt

则dy=tdx+xdt

(x+y)dy+(x-y)dx=0

(1+t)(tdx+xdt)+(1-t)dx=0

(t²+1)dx+x(t+1)dt=0

dx/x+(t+1)/(t²+1)dt=0

ln|x|+∫t/(t²+1)dt+∫1/(t²+1)dt=ln|C| 

ln|x|+1/2∫d(t²+1)/(t²+1)+arctant=ln|C|

ln|x|+1/2ln(t²+1)+arctant=ln|C|

x√(t²+1)=Ce^(arctant)

√(x²+y²)=Ce^(arctant) 

方程的通解：

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

Answer 2

Answer 3

（x+y）dy=（y-x）dx，故

dy
dx
＝
y?x
y+x
＝

y
x
?1

y
x
+1

．①
令u＝
y
x
，即y=ux，
则
dy
dx
＝u+x
du
dx
，于是方程①变为：
u+x
du
dx
＝
u?1
u+1
，
整理即得：x
du
dx
＝?
u2+1
u+1
．
分离变量得，
u+1
u2+1
du＝?
1
x
dx，
即有：
u
u2+1
du+
1
u2+1
du＝?
1
x
dx．
两边积分可得，
1
2
ln(u2+1)+arctanu＝?ln|x|+C．
将u＝
y
x
代入即得，

1
2
ln((
y
x
)2+1)+arctan
y
x
+ln|x|＝C，
整理即得，

1
2
ln(x2+y2)+arctan
y
x
＝C．

Answer 4

∵(x+y)dy+(x-y)dx=0
==>(1+y/x)dy+(1-y/x)dx=0
设y=xt,则dy=tdx+xdt
∴(x+y)dy+(x-y)dx=0
==>(1+t)(tdx+xdt)+(1-t)dx=0
==>(t²+1)dx+x(t+1)dt=0
==>dx/x+(t+1)/(t²+1)dt=0
==>ln|x|+∫t/(t²+1)dt+∫1/(t²+1)dt=ln|C| (C是积分常数)
==>ln|x|+1/2∫d(t²+1)/(t²+1)+arctant=ln|C|
==>ln|x|+1/2ln(t²+1)+arctant=ln|C|
==>x√(t²+1)=Ce^(arctant)
==>√(x²+y²)=Ce^(arctant) (C是积分常数).