Question

数学微积分应用题

水以每秒20cm3的速度倒入。计算：水平面距尖顶12cm是水平面上升的速度。 1/4满是水平面上升的速度。

Answer 1

‍流入水的体积变化率为q=20 cm^3/s
因此截至 t 时刻流入的水体积为 q*t
作平行于底面的平面与圆锥相截,设平面与圆锥定点的距离为 x
截面的半径设为r， 那么由相似三角形的性质，
R/H=r/x
其中 R , H 分别为圆锥的底面半径和高
那么
r=xR/H
所以底面面积
S=πr^2=π(R/H)^2 * x^2
因此截面与圆锥面围成的圆锥体积为
S*x/3=π(R/H)^2 * x^3/2
设 t 时刻水的深度为x，那么
q*t = π(R/H)^2 * x^3/2 ①
上式两端同时对 t 求导，得到
q = 3π(R/H)^2 * x^2 *v/2 ②
其中 v =dx/dt 表示水面上升的速度

上式即为本题的基本方程.
(1)距离尖顶12 cm，即 x = 12 cm ③
代入(**)求得 t = 1728π/1000 ④
把④代入②式，即可解得v = 125/54π cm/s
(2)这一问有两种解法
(i) 易见截面与锥面围成的圆锥与原来的圆锥相似，
那么前者的高 x 与后者的高 H 的比值为相似比，体积比为相似比的三次方
因此 x/H = (1/4)^(1/3) = 2^(-2/3)
那么 x = 2^(-2/3) * H = 2^(1/3)*20 cm
把上式代入②式得到 v = 2^(1/3)*5/12π cm/s
(ii)如果把大圆锥灌满水，那么需要的时间
T = πR^2*H/3q = 128π/3
由于水的流速恒定，因此 1/4 满时对应的时间为
t = T/4 =32π/3
代入①式同样求得 x = 2^(1/3)*20 cm
后面的步骤与(i)相同.