Question

高数第八题怎么解

Answer 1

8、将L的表达式代入得到需要的曲线积分

利用格林公式证明曲线积分与路径无关

取另一条路径y＝0

将曲线积分化为定积分

利用积分区间的对称性和积分函数的奇偶性

得到曲线积分的值＝2

 

过程如下图：

 

追问

如果化简后才求导也可以的话，那我每道题到把l代入使一边只有x一边只有y,那不是到是与路径无关？

追答

不是每道题都能化成
f(x)dx＋g(y)dy的形式

如果可以的话，就可以得到曲线积分与路径无关

追问

左边把y削去不就行了，右边消x

上面那个积分分别在三种l下都可以化为f（x）dx+g（y）dy吧，但是答案不一样

追答

我想了一下，应该是都可以化成
曲线积分与路径无关的形式
只是化了以后，不一定好做
比如这题，如果不是x的积分区间关于原点对称
可以利用奇偶性化简，就不好做

L的方程不一样
化简后的曲线积分不一样
结果也不一样

追问

可是化成f（x）dx+g（y）dy,不就是与积分路线无关嘛，所以如果你上面的方法可以的话，我下面说的这题答案应该一样

下面那题l不一样，但是都是从A（1,0）到B（0,2）

追答

第一个
y＝2－2x
x＝1－y/2

第二个
y＝正负根号下4－4x
x＝1－y平方/4

带进曲线积分，取x＝0和y＝0两条直线
积分函数不同

追问

都是从A到B，结果不一样

追答

是说不一样啊

化成f(x)dx＋g(y)dy的形式后
L不同，f(x)不同，g(y)不同

再取L1：x＝0和L2：y＝0
化为定积分时，积分函数不同
所以结果不同
计算过程可能很麻烦

但是，同一个L，不同的方法计算
结果应该是一样的

算第一个，f(x)＝x(2－2x)－1
g(y)＝(1－y/2)平方×y

取L1：x＝0和L2：y＝0
曲线积分化为定积分f(x)dx（x从1到0）（上限0，下限1）
＋定积分g(y)dy（y从0到2）

结果＝1

追问

不是与积分路线无关吗

他都这样了

所以三个答案应该一样啊

我睡了，明天问你，多谢了

追答

把第一条L的方程代入
化简曲线积分

曲线积分就变了，不是题中的那个了
只是在满足L1的条件下
曲线积分与路径无关

取L2的路径
积分函数还是L1化简的曲线积分
和题目的不一样