高等数学 多元函数的连续性,可导,可微的问题
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偏导连续=>可微
可微=>连续
可微=>偏导存在
以上式子,反过来都不一定成立.另外连续和偏导数存在没有必然关系。
可微定义 :
设函数y= f(x),若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)
其中A与Δx无关,则称函数f(x)在点x可微,并称AΔx为函数f(x)在点x的微分,记作dy,即dy=A×Δx,当x= x0时,则记作dy∣x=x0。
函数可导定义:
(1)设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。
(2)若对于区间(a,b)上任意一点(m,f(m))均可导,则称f(x)在(a,b)上可导。
可微=>连续
可微=>偏导存在
以上式子,反过来都不一定成立.另外连续和偏导数存在没有必然关系。
可微定义 :
设函数y= f(x),若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)
其中A与Δx无关,则称函数f(x)在点x可微,并称AΔx为函数f(x)在点x的微分,记作dy,即dy=A×Δx,当x= x0时,则记作dy∣x=x0。
函数可导定义:
(1)设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。
(2)若对于区间(a,b)上任意一点(m,f(m))均可导,则称f(x)在(a,b)上可导。
2018-08-03 · 知道合伙人教育行家
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定理三中,
偏导数连续不是连续+偏导数存在,
这点你完全理解错误了。
偏导数连续是指两个偏导函数
zx和zy
都是连续的。
【即求导后的函数连续,
这个条件很苛刻。】
所以,基于此,
你后面的理解都有问题。
比如,
可微是可以得到连续+偏导存在的,
但不能得到偏导数连续。
偏导数连续不是连续+偏导数存在,
这点你完全理解错误了。
偏导数连续是指两个偏导函数
zx和zy
都是连续的。
【即求导后的函数连续,
这个条件很苛刻。】
所以,基于此,
你后面的理解都有问题。
比如,
可微是可以得到连续+偏导存在的,
但不能得到偏导数连续。
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连续、可导、可微。
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(x,y)→(0,0)时,f(x,y)是无穷小与有界函数的乘积,所以极限是0=f(0,0)。所以函数在(0,0)连续。
用偏导数的定义可得fx(0,0)=fy(0,0)=0。
用可微的定义,[f(x,y)-f(0,0)-fx(0,0)x-fy(0,0)y]/√(x^2+y^2)=√(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2)),当(x,y)→(0,0)时是无穷小乘以有界函数,所以极限是0。所以函数在(0,0)可微。
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(x,y)→(0,0)时,f(x,y)是无穷小与有界函数的乘积,所以极限是0=f(0,0)。所以函数在(0,0)连续。
用偏导数的定义可得fx(0,0)=fy(0,0)=0。
用可微的定义,[f(x,y)-f(0,0)-fx(0,0)x-fy(0,0)y]/√(x^2+y^2)=√(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2)),当(x,y)→(0,0)时是无穷小乘以有界函数,所以极限是0。所以函数在(0,0)可微。
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