Question

请问如何证明四点共圆，证明了四点共圆之后可以得出什么结论，求教！急，明天早上考数学！

Answer 1

四点共圆　　证明四点共圆的基本方法证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1　　从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆。方法2　　把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆． （若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）方法3　　把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。方法4　　把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（根据相交弦定理 的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆。（根据托勒密定理的逆定理）方法5　　证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明． 判定与性质：圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。 如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π， 角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。 角CBE=角ADE（外角等于内对角） △ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）EB*EA=EC*ED（割线定理）EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）弦切角定理方法6同斜边的两个RT三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。

Answer 2

此题有一定难度，难度在于线比较多，让人不知从何处下手。但是仔细分析原题还是可以找到路径的，这个路径就是四点共圆。
首先要知道一个定理，就是圆幂定理，也就是相交弦定理，切割线定理。不过据我所知，有一些地区的学校没有学习过该定理，鉴于此，有必要先讲一下圆幂定理。
切割线定理：从圆O外一点P引两条割线l和m，l与圆交于A、B两点，m与圆交于C、D两点（A、C两点在P点的近端）。根据四点共圆或者说圆内切四边形对角互为补角的特征，易证明△APB∽△DPC，进而得知PA*PB=PC*PD，这就是切割线定理。根据这一定理可以做进一步的探讨，既然PA*PB=PC*PD恒成立，那么从P点引一点过圆心的k线与相交于E和F，同样能满足PA*PB=PC*PD=PE*PF。设圆的半径为R，PE=PO-R，PF=PO+R，从而有PA*PB=PC*PD=PO^2-R^2，而这正是证明该题的必杀技。
相交弦定理：圆内两弦AB与CD相交于M，运用同弦圆周角相等的原理易证明AM*BM=CM*DM。同样该等式恒成立，所以可以从M引一条弦n与圆分别交于E和F，则AM*BM=CM*DM=EM*FM。而EM=R-MO，FM=R+MO，从而有AM*BM=CM*DM=R^2-MO^2。

有了这两个定理，证明此题就有门道了。设圆O半径为R，则有
QD*QA=QO^2-R^2
MB*MD=R^2-MO^2
不难发现二者之间有关系，但是需要一座桥梁将二者串联起来。
做△AMD的外接圆E，使此与QM的延长线交于F。A、F、M、D四点共圆，故
QM*（QM+MF）=QM*QF=QD*QA=QO^2-R^2 ①
又因为∠QBM=∠QAM（共CD弦，圆O），∠QAM=∠DFM（共MD弦，圆E），所以∠QBM=∠QBD=∠DFM，所以B、F、D、Q四点共圆（由同DQ弦等角反推），则
MQ*MF=MB*MD=R^2-MO^2 ②
①式减②式可得
QM^2=QO^2+MO^2-2R^2 ③
同理，在P点，同样可以得出相同结论，即PM^2=PO^2+MO^2-2R^2 ④
③式减④式可得
MQ^2-MP^2=OQ^2-OP^2
所以OM⊥PQ。
同理可证OP⊥QM，OQ⊥PM
（此段提示：可以在PQ上找一个点G，让它与C、D、Q形成四点共圆，其实G、C、B、P也是四点共圆）
故圆心O是三角形PQM的垂心。
得证。

Answer 3

四个点围成的四边形对角相加入等于180度，则这四个点共圆。结论:该四点围成的四边形的对角线与四边形的边围成的角都相等，即圆周角。

Answer 4

证一点在其他三点所组成的三角形的外接圆上（证法不一视题目而定）
结论:四点所组成的四边形对角互补

Answer 5