Question

证明f(x)=x/x²+1在R上是有界函数

Answer 1

最基本的方法是利用定义。即:设f(x)的定义域为D，若存在M>0，使得|f(x)|≤M (x∈D)，则f(x)在D内有界。以本题为例:
显然 已知函数 f(x)=x/(1+x²) 的定义域为R。
利用基本不等式a>0,b>0时，a²+b²≥2ab 可得
当x≠0时， |f(x)|=|x|/(1+|x|²)≤|x|/2(1·|x|)=1/2
又|f(0)|=0<1/2
∴当x∈R时总成立|f(x)|≤1/2
故函数f(x)在定义域内有界。